Beregning av areal

Se også: Egenskaper til polygoner

Areal er et mål på hvor mye plass det er inne i en form. Å beregne arealet på en form eller overflate kan være nyttig i hverdagen - for eksempel må du kanskje vite hvor mye maling du skal kjøpe for å dekke en vegg eller hvor mye gressfrø du trenger for å så en plen.

Denne siden dekker det viktigste du trenger å vite for å forstå og beregne områdene med vanlige former, inkludert firkanter og rektangler, trekanter og sirkler.

Beregning av areal ved bruk av rutenettmetoden

Når en figur er tegnet på et skalert rutenett, kan du finne området ved å telle antall rutenett kvadrater inne i figuren.



Nummerert rutenett for å beregne arealet til en figur.

I dette eksemplet er det 10 ruter i rektangelet.


For å finne en arealverdi ved hjelp av rutenettmetoden, må vi vite størrelsen som et rutenett representerer.

Dette eksemplet bruker centimeter, men den samme metoden gjelder for alle enheter av lengde eller avstand. Du kan for eksempel bruke inches, meter, miles, fot osv.

Bruk et rutenett til å beregne arealet til en form.



I dette eksemplet har hvert rutenett en bredde på 1 cm og en høyde på 1 cm. Med andre ord er hvert rutenett en 'kvadratcentimeter'.

Teller rutenettene i det store torget for å finne området ..

Det er 16 små firkanter, så arealet til det store torget er 16 kvadratcentimeter.



I matematikk forkorter vi 'kvadratcentimeter' til cmto. Detobetyr 'kvadrat'.

Hver rutenett er 1 cmto.

Arealet til det store torget er 16 cmto.


Å telle firkanter på et rutenett for å finne området fungerer for alle former - så lenge rutenettstørrelsene er kjent. Denne metoden blir imidlertid mer utfordrende når figurer ikke passer nøyaktig til rutenettet, eller når du trenger å telle brøker av rutenett.

1 cm firkantet rutenett for å hjelpe til med å kalkulere arealet av en form.

I dette eksemplet passer firkanten ikke nøyaktig på rutenettet.



Vi kan fortsatt beregne arealet ved å telle rutenett.

  • Det er 25 ruter med full rutenett (skyggelagt i blått).
  • 10 halve rutefelt (skyggelagt i gult) - 10 halve firkanter er det samme som 5 fulle firkanter.
  • Det er også et kvart kvadrat (skyggelagt i grønt) - (¼ eller 0,25 av et helt kvadrat).
  • Legg hele rutene og brøkene sammen: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Arealet på dette torget er derfor 30,25 cmto.

Du kan også skrive dette som 30¼cmto.


Selv om bruk av et rutenett og teller firkanter i en form er en veldig enkel måte å lære begrepene på området, er det mindre nyttig for å finne eksakte områder med mer komplekse former, når det kan være mange brøkdeler av rutenett å legge sammen.

hvordan finner du ut gjennomsnittet

Område kan beregnes ved hjelp av enkle formler, avhengig av hvilken form du jobber med.

Resten av denne siden forklarer og gir eksempler på hvordan man beregner arealet til en figur uten å bruke rutenettet.


Områder med enkle firkanter:
Kvadrater og rektangler og parallellogrammer

De enkleste (og mest brukte) arealberegningene er for firkanter og rektangler.

For å finne området til et rektangel må du multiplisere høyden med bredden.

For en firkant trenger du bare å finne lengden på en av sidene (siden hver side har samme lengde) og deretter multiplisere dette for seg selv for å finne området. Dette er det samme som å si lengdetoeller lengde i kvadrat.



Det er god praksis å kontrollere at en form faktisk er en firkant ved å måle to sider. Veggen i et rom kan for eksempel se ut som en firkant, men når du måler den, finner du at den faktisk er et rektangel.

Diagram som viser hvordan du beregner arealet av firkanter og rektangler.

Ofte, i det virkelige liv, kan former være mer komplekse. Tenk deg for eksempel at du vil finne arealet til et gulv, slik at du kan bestille riktig mengde teppe.

En typisk planløsning av et rom består kanskje ikke av et enkelt rektangel eller kvadrat:

Diagram for å vise hvordan man beregner arealet til et merkelig rom.

I dette eksemplet, og andre eksempler som det, er kunsten å dele formen i flere rektangler (eller firkanter). Det spiller ingen rolle hvordan du deler formen - noen av de tre løsningene vil gi det samme svaret.

Løsning 1 og 2 krever at du lager to former og legger områdene deres sammen for å finne det totale arealet.

For løsning 3 lager du en større form (A) og trekker den mindre formen (B) fra den for å finne området.


Et annet vanlig problem er å finne området til en kant - en form i en annen form.

Dette eksemplet viser en sti rundt et felt - stien er 2 meter bred.

Igjen er det flere måter å regne ut stiområdet i dette eksemplet.

Du kan se stien som fire separate rektangler, beregne dimensjonene og deretter deres område og til slutt legge til områdene sammen for å gi et totalt.

En raskere måte ville være å utarbeide området med hele formen og området til det indre rektangelet. Trekk det indre rektangelområdet fra hele det som forlater stien.

Diagram som viser hvordan du beregner arealet av kanten av en form.
  • Arealet til hele formen er 16m × 10m = 160mto.
  • Vi kan beregne dimensjonene til midtseksjonen fordi vi vet at stien rundt kanten er 2m bred.
  • Bredden på hele formen er 16m og stienes bredde over hele formen er 4m (2m til venstre for formen og 2m til høyre). 16m - 4m = 12m
  • Vi kan gjøre det samme for høyden: 10m - 2m - 2m = 6m
  • Så vi har beregnet at det midtre rektangelet er 12m × 6m.
  • Arealet til det midtre rektangelet er derfor: 12m × 6m = 72mto.
  • Til slutt tar vi området av midtre rektangel vekk fra området for hele formen. 160 - 72 = 88mto.

Stiområdet er 88mto.


TIL parallellogram er en firesidig form med to par sider med lik lengde - per definisjon er et rektangel en type parallellogram. Imidlertid pleier de fleste å tenke på parallellogrammer som firesidige former med vinklede linjer, som illustrert her.

Beregning av arealet til et parallellogram.

Arealet til et parallellogram beregnes på samme måte som for et rektangel (høyde × bredde), men det er viktig å forstå at høyden ikke betyr lengden på de vertikale (eller utenfor vertikale) sidene, men avstanden mellom sidene.

Fra diagrammet kan du se at høyden er avstanden mellom topp- og undersiden av formen - ikke lengden på siden.

Tenk på en imaginær linje, i rett vinkel, mellom topp og bunn. Dette er høyden.


Områder med trekanter

Det kan være nyttig å tenke på en trekant som halvparten av et kvadrat eller parallellogram.

En trekant er halvparten av et kvadrat eller rektangel.

Forutsatt at du vet (eller kan måle) dimensjonene til en trekant, kan du raskt regne ut området.

Arealet til en trekant er (høyde × bredde) ÷ 2.

Med andre ord kan du beregne arealet til en trekant på samme måte som området for et kvadrat eller parallellogram, og deretter bare dele svaret ditt med 2.

Høyden på en trekant måles som en rettvinklet linje fra bunnlinjen (basen) til toppunktet (toppunktet) i trekanten.

Her er noen eksempler:

Beregning av arealet til en trekant

Arealet til de tre trekantene i diagrammet ovenfor er det samme.

Hver trekant har en bredde og høyde på 3 cm.

Arealet er beregnet:

(høyde × bredde) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

Arealet til hver trekant er 4,5 cmto.


I virkelige situasjoner kan du møte et problem som krever at du finner området til en trekant, for eksempel:

Du vil male gavlenden på en låve. Du vil bare besøke dekorasjonsbutikken en gang for å få riktig mengde maling. Du vet at en liter maling vil dekke 10 metertoav veggen. Hvor mye maling trenger du for å dekke gavlenden?

Gavlenden (trekant)

Du trenger tre målinger:

A - Total høyde til toppunktet på taket.

B - Høyden på de vertikale veggene.

C - Bygningens bredde.

I dette eksemplet er målingene:

A - 12,4 meter

B - 6,6m

C - 11,6 meter

Neste trinn krever noen ekstra beregninger. Tenk på bygningen som to former, et rektangel og en trekant. Fra målingene du har, kan du beregne den ekstra målingen som trengs for å beregne arealet til gavlenden.

Del den komplekse formen i enkle former for å beregne arealet

Måling D = 12,4 - 6,6

D = 5,8m

Du kan nå regne ut området til de to delene av veggen:

Areal til den rektangulære delen av veggen: 6,6 × 11,6 = 76,56mto

Areal av den trekantede delen av veggen: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64mto

Legg disse to områdene sammen for å finne det totale arealet:

76,56 + 33,64 = 110,2mto

Som du vet at en liter maling dekker 10 metertovegg slik at vi kan finne ut hvor mange liter vi trenger å kjøpe:

110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.

I virkeligheten kan du oppdage at maling kun selges i 5 liter eller 1 liters bokser, resultatet er litt over 11 liter. Du kan bli fristet til å runde ned til 11 liter, men forutsatt at vi ikke vanner ned malingen, vil det ikke være nok. Så du vil sannsynligvis runde opp til neste hele liter og kjøpe to 5 liters bokser og to 1 liters bokser som totalt gir 12 liter maling. Dette vil gi rom for eventuelt svinn og la det meste av liter ligge igjen for å røre opp på et senere tidspunkt. Og ikke glem, hvis du trenger å påføre mer enn ett lag maling, må du multiplisere mengden maling for ett lag med antall strøk som kreves!


Områder med sirkler

For å beregne arealet til en sirkel må du vite dens diameter eller radius .

Diameter og radius på en sirkel

De diameter av en sirkel er lengden på en rett linje fra den ene siden av sirkelen til den andre som passerer gjennom midtpunktet i sirkelen. Diameteren er dobbelt så lang som radiusen (diameter = radius × 2)

De radius av en sirkel er lengden på en rett linje fra midtpunktet til sirkelen til kanten. Radien er halvparten av diameteren. (radius = diameter ÷ 2)

Du kan måle diameteren eller radiusen når som helst rundt sirkelen - det viktigste er å måle med en rett linje som går gjennom (diameter) eller ender i (radius) sentrum av sirkelen.

I praksis er det ofte lettere å måle diameteren når du måler sirkler, og deretter deler du med 2 for å finne radiusen.

Du trenger radius for å regne ut sirkelområdet, formelen er:

sirkelareal = & pi; Rto.

Dette betyr:

& pi; = Pi er en konstant som tilsvarer 3.142.

R = er radiusen til sirkelen.

Rto(radius i kvadrat) betyr radius × radius.


Derfor a sirkel med en radius på 5 cm har et område med:

3.142 × 5 × 5 = 78.55cmto.

TIL sirkel med en diameter på 3m har et område:

Først regner vi ut radien (3m ÷ 2 = 1,5m)

Bruk deretter formelen:

πRto

3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.

Arealet til en sirkel med en diameter på 3m er 7.0695mto.


Endelig eksempel

Dette eksemplet trekker mye av innholdet på denne siden for å løse enkle områdeproblemer.

Beregningsareal - Bloomington Benjamin House-eksempel.

Dette er Ruben M. Benjamin House i Bloomington Illinois, oppført på United States National Register of Historic Places (Record Number: 376599).

Dette eksemplet innebærer å finne området på forsiden av huset, trelatten - unntatt døren og vinduene. Målingene du trenger er:

A - 9,7m B - 7,6m
C - 8,8 meter D - 4,5 meter
E - 2.3m F - 2,7m
G - 1,2 meter H - 1,0m

Merknader:

  • Alle mål er omtrentlige.
  • Det er ikke nødvendig å bekymre seg for grensen rundt huset - dette er ikke inkludert i målingene.
  • Vi antar at alle rektangulære vinduer er like store.
  • Måling av det runde vinduet er diameteren på vinduet.
  • Målingen for døren inkluderer trinnene.

Hva er arealet til den tredelte delen av huset?

Arbeid og svar nedenfor:



Svar på eksemplet ovenfor

Først må du beregne området med hovedformen til huset - det er rektangelet og trekanten som utgjør formen.

Hovedrektanglet (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88mto.

Høyden på trekanten er (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

Arealet av trekanten er derfor (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24mto.

Det kombinerte hele området på forsiden av huset er summen av områdene til rektangelet og trekanten:

66,88 + 9,24 = 76,12mto.

Deretter trener du områdene til vinduene og dørene, slik at de kan trekkes fra hele området.

Arealet til døren og trinnene er (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35mto.

positive måter å håndtere stress på

Arealet til ett rektangulært vindu er (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24mto.

Det er fem rektangulære vinduer. Multipliser området med ett vindu med 5.

3,24 × 5 = 16,2m2. (det totale arealet av de rektangulære vinduene).

Det runde vinduet har en diameter på 1m. Radien er derfor 0,5m.

Bruke & pi; Rto, trene området av det runde vinduet: 3.142 × 0.5 × 0.5 =. 0,7855mto.

Legg deretter opp områdene til døren og vinduene.

(dørområde) 10.35 + (rektangelvinduareal) 16.2 + (rundt vindusareal) 0.7855 = 27.3355

Til slutt trekker du det totale arealet for vinduene og dørene fra hele området.

76.12 - 27.3355 = 48.7845

Området på trelatten foran huset, og svaret på problemet er: 48,7845mto.

Det kan være lurt å runde svaret opp til 48,8 metertoeller 49mto.

Se siden vår på Estimering, tilnærming og avrunding .

Fortsette å:
Areal, overflateareal og volumreferanseark

Beregner volum